Ngô Bảo Châu đã nghiên cứuthành công Bổ đề cơ bản của Langlands, một “bổ đề” khó chứng minh đến mức mà 30năm qua, nhiều nhà toán học hàng đầu - kể cả cá nhân Langlands - đã ra sức laovào giải quyết nhưng đều thất bại.
Vị GS trẻ này đã nhận được lờimời làm việc dài hạn tại Đại học Princeton, một đại học hàng đầu ở Mỹ, nơiAlbert Einstein từng giảng dạy.
Công trình toán học gây tiếngvang tức thì
Tháng 4/2004, Ngô Bảo Châu và Gérard Laumon công bố dưới dạng tiền ấn phẩm vàđưa lên mạng Internet công trình toán học dày 100 trang viết bằng tiếng Phápnhan đề: Le lemme fondamental pour les groupes unitaires (Bổ đề cơ bản cho cácnhóm unita/the fundamental lemma for unitarian groups).
Công trình đi vào một vấn đề thời sự toán học, giải quyết một bài toán lớn từngđược nhiều nhà toán học hàng đầu trên thế giới lao vào chứng minh trong suốt 20năm nhưng chưa ai thành công, cho nên ngay lập tức gây tiếng vang rộng khắp.
 |
| GS. Ngô Bảo Châu (hàng đầu, bên phải) nhận Giải thưởng Nghiên cứu Clay năm 2004. |
Ngô Bảo Châu được mời sang NhậtBản trình bày các kết quả mới, rồi sau đó, sang Canada dự Hội nghị quốc tế vềcác dạng tự đẳng cấu và công thức vết tại Viện Fields. Đến hội nghị có nhiều nhàtoán học nổi tiếng từ các đại học lớn trên thế giới. Ngô Bảo Châu được mời đọcbáo cáo trong phiên họp toàn thể đầu tiên.
Sau khi nghe anh, chính Robert Langlands, nhà toán học đã từng đưa ra Chươngtrình Langlands (Langlands Program) thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhàtoán học xuất sắc nhất hành tinh trong mấy chục năm qua, gặp ngay Ngô Bảo Châu,mời anh sang làm việc dài hạn tại Đại học Princeton, một đại học hàng đầu ở Mỹ,nơi Albert Einstein từng giảng dạy.
Gạt bỏ chướng ngại lì lợm chogiới toán học quốc tế
Do đã có kinh nghiệm trong việcnghiên cứu thành công Bổ đề cơ bản của Jacquet, Ngô Bảo Châu mạnh dạn bắt taynghiên cứu Bổ đề cơ bản của Langlands. Sau hai năm, anh thực hiện được một bướcđột phá vào mùa hè 2003, khi trở về Hà Nội “phượng đỏ bờ đê, ve kêu hàng sấu” đểthăm cha mẹ tại ngôi nhà xinh xắn mới xây nhìn sang hồ Thủ Lệ biếc xanh. Nhữngtháng tiếp theo, kết hợp với một số kết quả mà G. Laumon đã đạt được trước đó,hai tác giả hoàn thành chứng minh Bổ đề cơ bản cho các nhóm unita (thefundamental lemma for unitarian groups).
Công trình của Ngô Bảo Châu vàGérard Laumon chứng minh thành công “bổ để” này, gạt bỏ một vật chướng ngại lìlợm trên dòng chủ lưu của toán học đương đại, lập tức gây được sự chú ý của giớitoán học quốc tế. Hai tác giả giúp giới toán học vượt qua một vật cản để tiến xahơn trên con đường A. Wiles đã từng đi qua khi ông chứng minh Giả thuyếtTaniyama - Shimura.
Với kết quả Ngô Bảo Châu vàGérard Laumon đạt được, giới toán học quốc tế đã bước thêm một bước tiến tớichứng minh các giả thuyết khác trong Chương trình Langlands (Langlands Program),thực hiện giấc mơ ấp ủ của nhiều thế hệ các nhà nghiên cứu nhằm tìm kiếm sựthống nhất vĩ đại huy hoàng trong toán học.
Không phải ngẫu nhiên khi chínhA. Wiles, “nhà toán học lừng danh nhất thế kỷ 20”, tự mình đứng ra tiến cử NgôBảo Châu và Gérard Laumon nhận Giải thưởng Nghiên cứu của Viện Toán học Claydành cho công trình toán học xuất sắc nhất thế giới năm 2004. Cũng không phải dễdàng khi người Mỹ mời anh sang nước này làm việc với mức lương hơn 200 nghìnUSD/năm.
Làm được việc chính Langlandscũng thất bại
Để hiểu được ý nghĩa của thànhcông trên, ta hãy quay về với quá trình chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat,hay còn gọi là Định lý lớn Fermat. Định lý này được Pierre de Fermat, nhà toánhọc Pháp kiệt xuất, nêu lên vào thế kỷ 17, nhưng không để lại chứng minh! Và, vìthế, nó đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhânloại trong hơn ba thế kỷ! Thoạt nhìn, định lý thật giản đơn: Phương trình xn +yn = zn không có nghiệm nguyên dương khi n > 2.
Định lý lớn Fermat khiến ta nhớtới một định lý đã được Pythagore, nhà toán học Hy Lạp cổ đại, chứng minh vàothế kỷ 6 trước Công nguyên, thường gọi là Định lý Pythagore: x2 + y2 = z2 (nếutrong một tam giác vuông ta coi cạnh huyền là z, các cạnh góc vuông là x và y).
Thế nhưng, hơn ba thế kỷ trôiqua, không ai chứng minh được Định lý lớn Fermat!
Giữa thế kỷ 20, hai nhà toán họcNhật Bản Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra phỏng đoán thiên tài (về sau gọilà Giả thuyết Taniyama - Shimura) rằng mỗi phương trình eliptic đều có liên hệvới một dạng modular. Nếu giả thuyết này đúng, thì nó sẽ tạo điều kiện để giảiquyết nhiều bài toán eliptic cho đến nay chưa giải quyết được, bằng cách tiếpcận chúng qua thế giới modular. Và, như vậy, hai thế giới eliptic và modular vốntách biệt nhau, sẽ có thể thống nhất.
Trong những năm 1960, R.Langlands và những người cộng tác tại Đại học Princeton (Mỹ) đưa ra một loạt giảthuyết về những mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêugọi giới toán học quốc tế hợp tác chứng minh những giả thuyết cấu thành Chươngtrình Langlands.
 |
| GS Ngô Bảo Châu hiến kế để phát triển nền khoa học nước nhà (Ảnh: Việt Dũng VTC) |
Nếu những giả thuyết mang màu sắctư biện ấy, vào một ngày đẹp trời nào đó, được chứng minh, thì sẽ mang lại nhữngkết quả vô cùng to lớn cho toán học. Khi ấy, bất cứ một bài toán chưa giải đượctrong một lĩnh vực nào đều có thể biến đổi thành một bài toán tương tự trong mộtlĩnh vực khác, và các nhà toán học có thể huy động cả một kho to lớn những kỹthuật mới để giải nó.
Thế nhưng, cho đến lúc bấy giờ,thì chưa có một giả thuyết nào trong chương trình đầy tham vọng của Langlandsđược chứng minh, kể cả giả thuyết nổi tiếng nhất là Giả thuyết Taniyama -Shimura.
Mùa thu năm 1984, tại một hộinghị toán học tổ chức trong khu Rừng Đen ở CHLB Đức, Gerhard Frey đi tới một kếtluận đầy kịch tính, rằng nếu chứng minh được Giả thuyết Taniyama - Shimura, thìcũng có nghĩa là chứng minh được Định lý lớn Fermat, bởi vì định lý này chỉ làmột hệ quả của giả thuyết trên.
Kết luận đó kích thích mạnh lòng“cuồng nhiệt” của Andrew Wiles, một nhà toán học người Anh làm việc tại Mỹ. A.Wiles lặng lẽ tự giam mình bảy năm liền trên một gian gác xép, cam lòng chịucảnh “lưu đày cô đơn” để bí mật tìm kiếm lời giải cho bài toán “xuyên thế kỷ”!
Để rồi trong ba phiên họp liêntiếp vào mấy ngày 21, 22 và 23/6/1993 tại Viện Isaac Newton ở Cambridge, Vươngquốc Anh, quê hương A. Wiles, ông ta viết chi chít trên hai tấm bảng lớn, độtngột thông báo chứng minh Giả thuyết Taniyama - Shimura mà Định lý lớn Fermatchỉ là một hệ quả. Lúc ấy, nhiều người thành thật nghĩ rằng đó là “buổi thôngbáo toán học quan trọng nhất thế kỷ 20”.
Báo Guardian ở Anh cũng như báoLe Monde ở Pháp rút tít lớn trên trang nhất. Tờ People coi A. Wiles là một“người hấp dẫn trong năm” sánh ngang Công nương Diana! Một tập đoàn may sẵn quốctế mời Wiles quảng cáo cho các mẫu quần áo đàn ông! Thế nhưng...
Nhà toán học Nick Katz, một ngườibạn của Wiles, bỗng phát hiện ra một lỗi nghiêm trọng nhưng hết sức tinh vi, khóthấy, trong bản thảo dày 200 trang của Wiles. Thế là, than ôi, dường như bất cứai cả gan lao vào chứng minh Định lý lớn Fermat, đều không tránh khỏi cuối cùngchuốc lấy... “thất bại định mệnh”! Và bài toán hóc hiểm kia vẫn cứ kiêu hãnh nằmnguyên tại chỗ như một tòa... “lâu đài tăm tối”!
Nhưng là con người gang thép,Wiles không cam chịu “bó giáo quy hàng” như bao bậc “tiền bối”! Suốt 14 thángtrời tiếp theo, qua những ngày dài “đau đớn, tủi nhục và gần như tuyệt vọng”,Wiles đã sửa chữa, hoàn thiện chứng minh, rồi trao bản thảo hoàn chỉnh cho ngườiđầu tiên là vợ ông - bà Nada - để mừng sinh nhật bà, người đã khích lệ ông trongnhững phút giây “đen tối nhất”...
A. Wiles thành công vang dội khichứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat, chấm dứt 358 năm căng thẳng tronggiới toán học quốc tế. Tuy nhiên, một kết quả mà những người “ngoại đạo” ít chúý tới, nhưng lại có ý nghĩa to lớn hơn nhiều, đó là chứng minh Giả thuyếtTaniyama - Shimura.
Giả thuyết Taniyama - Shimura được chứng minh có nghĩa hòn đá tảng của Chươngtrình Langlands quả thật là vững chắc. Chương trình này mặc nhiên trở thành bảnthiết kế cho tương lai của toán học.
Một loạt giả thuyết toán học củaChương trình này liên kết nhiều đối tượng có vẻ rất khác nhau trong các lĩnh vựctoán học như lý thuyết số, hình học đại số, lý thuyết các dạng tự đẳng cấu...ngày càng thu hút sự chú ý của các nhà toán học hàng đầu, và dần dần trở thànhdòng chủ lưu của toán học đương đại.
Việc gạt bỏ những vật cản trêndòng chảy chính ấy đã mang lại vinh quang cho nhiều nhà toán học: A. Wiles chứngminh thành công Định lý lớn Fermat, được tặng Giải thưởng Nghiên cứu Clay. V.Drinfeld thiết lập được tương ứng Langlands cho trường hàm trong trường hợp sốchiều bằng 2; L. Lafforgue giải quyết trong trường hợp tổng quát; cả hai nhàtoán học trẻ ấy đều được tặng Huy chương Fields.
Năm 1987, Langlands và cộng sựphỏng đoán về một tương tự tương ứng cho trường hàm trên trường phức, về sau,được gọi là tương ứng Langlands hình học. Để chứng minh được sự tồn tại củatương ứng đó, phải giải quyết một bài toán lớn mà lúc đầu Langlands chưa thấyhết mức độ phức tạp của nó, nên mới gọi là Bổ đề cơ bản.
Thuật ngữ bổ đề (lemma) thườngdùng để chỉ một cái gì đó dễ chứng minh, một kết quả kỹ thuật giản đơn cần thiếttrên con đường chứng minh một định lý đích thực. Thế nhưng, trong trường hợpnày, cụm từ bổ đề cơ bản (fundamental lemma) lại gắn liền với một giả thuyếtquyết định, một bộ phận không thể tách rời của Chương trình Langlands, một “bổđề” khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều nhà toán học hàng đầu - kể cả cánhân Langlands - đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại!
Theo Hàm Châu
Khoa học & Đời Sống Online
