Huy chương Fields đã được traocho Giáo sư Ngô Bảo Châu. Ở tuổi 38, vị Giáo sư trẻ nhất Việt Nam đã được vinhdanh bằng phần thưởng danh giá nhất của thế giới Toán học.
Ngô Bảo Châu đã giải quyết thành công Bổ đề cơ bản trong chương trình Langlands,bài toán đã làm đau đầu hàng nghìn bộ óc thế giới suốt gần nửa thể kỷ qua. Bổ đềcơ bản cũng giống như Định lý lớn Fermat, Giả thuyết Riemann hay Giả thuyếtPoincaré, đều là những bài toán khó nhất và có ứng dụng nhiều nhất của Toán họchiện đại.
Nhưng một câu hỏi cũng được đặt ra ngay sau ngày GS Ngô Bảo Châu nhận giảithưởng Fields: Sau công trình kỳ vĩ và giải thưởng danh giá nhất sẽ là gì? Bàibáo này góp phần làm rõ vấn đề đó.
 |
| Huy chương Fields mà GS Ngô Bảo Châu vừa nhận được xem là giải thưởng cao nhất mà một nhà Toán học có thể nhận được. |
Huy chương Fields mà GS Ngô BảoChâu vừa nhận được xem là giải thưởng cao nhất mà một nhà Toán học có thể nhậnđược.
Từ huyền thoại Alexandre Đại đế...
Người Hy Lạp truyền miệng một huyền thoại về Alexander Đại đế (Alexander theGreat). Alexander là con vua Philip II xứ Macedonia, thuộc bán đảo Hy Lạp. Thuởnhỏ, Alexander thường dạo chơi trong vườn. Mỗi khi nghe tin vua cha vừa thắngtrận và chiếm được một thành trì, Alexander không vui mà ngửa mặt lên trời than:“Sau này còn thành trì nào cho ta chinh phục nữa”?
 |
| Alexandre Đại đế. |
Alexander sau đó lớn lên, thốngnhất các thành bang Hy Lạp trước khi bắt đầu chinh phạt Đế chế Ba Tư, bao gồm cảTiểu Á, Syria, Phoenicia, Gaza, Ai Cập, Bactria, Lưỡng Hà và mở rộng biên cươngtới tận Punjab.
Số thành trì Alexander chinh phục được nhiều hơn cha mình gấp bội và người đờigọi ông là Alexander Đại đế, một trong những vị tướng lỗi lạc nhất trong lịch sửnhân loại.
Từ huyền thoại Alexandre Đại đếvà rất nhiều những câu chuyện khác, người ta khái quát thành một chân lý: Bênngoài vũ trụ ắt có một vũ trụ lớn hơn.
7 bài toán thiên niên kỷ do Viện Toán học Clay đề xuất và tiến hành trao giải.
 |
| Grigori Perelman, người giải quyết được bài toán đầu tiên trong số 7 bài toán thiên niên kỷ. |
Với GS Ngô Bảo Châu, chinhphục thành công Bổ đề cơ bản là một công trình kỳ vĩ đã mang lại cho anhnhững giải thưởng danh giá cũng như sự kính phục từ các nhà Toán học. Nhưngngoài Bổ đề cơ bản, vẫn còn rất nhiều những "bài toán" khác hóc búa khôngkém.
 |
| 7 bài toán thiên niên kỷ do Viện Toán học Clay đề xuất và tiến hành trao giải. |
Trong số đó, đáng chú ý là 7bài toán thiên niên kỷ (7 Millennium Problems) do Viện Toán học Clay (ClayMathematics Institute) công bố vào năm 2000, mà phần thưởng cho người giảiđược 1 trong số 7 bài toán này cực kỳ hấp dẫn: Giải thưởng Millennium Prizevới trị giá 1 triệu USD/giải.
Grigori Perelman, người giải quyết được bài toán đầu tiên trong số 7 bàitoán thiên niên kỷ.
Trong số 7 bài toán này, mới chỉ có 1 bài được giải quyết. Đó là bài toán số2 - Giả thuyết Poincaré. Người chiến thắng là nhà Toán học người Nga GrigoriPerelman và sau khi phép chứng minh được thẩm định, Perelman đã được traogiải Fields năm 2006 và Millennium Prize 2010 (nhưng ông kiên quyết từ chốinhận giải).
Tới 7 bài toán thiên niên kỷ
Như vậy, vẫn còn đến 6 “bài toántriệu đô” nữa đang chờ các nhà Toán học giải quyết. Sẽ là một vinh dự tuyệt vờicho khoa học Việt Nam nếu một ngày nào đó, GS Ngô Bảo Châu giải thành công mộttrong số chúng và nhận giải thưởng thiên niên kỷ từ Viện Clay. Sau đây là danhsách 7 bài toán thiên niên kỷ do Viện Toán học Clay công bố và mô tả sơ lược vềchúng.
1. Vấn đề P và NP (P versus NPproblem)
Với quyển từ điển trong tay, liệu bạn thấy tra nghĩa của từ “thằn lằn” dễ hơn,hay tìm một từ phổ thông để diễn tả “loài bò sát có bốn chân, da có vảy ánh kim,thường ở bờ bụi” dễ hơn? Câu trả lời hầu như chắc chắn là tra nghĩa thì dễ hơntìm từ.
Các nhà Toán học lại không chắcchắn như thế. Nhà Toán học Canada, Stephen Cook là người đầu tiên đặt ra câu hỏinày vào năm 1971 theo cách Toán học. Sử dụng ngôn ngữ logic của Tin học, ông đãđịnh nghĩa một cách chính xác tập hợp những vấn đề mà người ta thẩm tra kết quảdễ hơn (gọi là tập hợp P), và tập hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn(gọi là tập hợp NP).
 |
Liệu hai tập hợp này có trùngnhau không? Các nhà logic học khẳng định P # NP. Như mọi người, họ tin rằng cónhững vấn đề rất khó tìm ra lời giải, nhưng lại dễ thẩm tra kết quả. Nó giốngnhư việc tìm ra khai triển của 992865951 là việc rất phức tạp, nhưng rất dễ kiểmtra rằng 258357 * 3843 = 13717421. Đó chính là nền tảng của phần lớn các loạimật mã: rất khó giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra mã có đúng không. Tuy nhiên, cũnglại chưa có ai chứng minh được điều đó.
“Nếu P = NP, mọi quan niệm của chúng ta đến nay là sai. Một mặt, điều này sẽgiải quyết được rất nhiều vấn đề Tin học ứng dụng trong công nghiệp; nhưng mặtkhác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ các giao dịch tài chính thực hiện quaInternet” - Stephen Cook thông báo.
Vấn đề P chống lại NP có vai trò rất quan trọng trong Khoa học máy tính và làtổng hòa của các vấn đề thuộc nhiều lĩnh vực: Toán học, Triết học, Sinh vật họcvà Mật mã.
2. Giả thuyết Hodge (Hodge conjecture)
Giả thuyết Hodge là một vấn đề lớn của Hình học Đại số và có liên quan đến TopoĐại số. Trong thế kỷ XX, các đường thẳng và đường tròn trong Hình học Euclide đãbị thay thế bởi các khái niệm Đại số, khái quát và hiệu quả hơn trong Hình họchiện đại.
Khoa học của các hình khối vàkhông gian đang dần dần đi tới hình học của “tính đồng đẳng”. Chúng ta đã cónhững tiến bộ đáng kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể Toán học, nhưngviệc mở rộng các khái niệm đã dẫn đến hậu quả là bản chất Hình học dần dần biếnmất trong Toán học.
Vào năm 1950, nhà Toán học người Anh - William Hodge cho rằng trong một số dạngkhông gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất Hình học củachúng. Đó là nội dung của Giả thuyết Hodge mà vẫn chưa có nhà Toán học nào giảiquyết được.
3. Giả thuyết Poincaré (Poincaré conjecture, đã được chứng minh)
Henri Poincaré là nhà Vật lý học và Toán học người Pháp. Giả thuyết Poincaré doông đưa ra năm 1904 đã tồn tại hơn 100 năm cho tới khi Grigori Perelman chínhthức được công nhận đã giải quyết được bài toán này.
 |
Lấy một quả bóng hoặc một vậthình cầu, vẽ trên đó một đường cong khép kín không cắt nhau, sau đó cắt quả bóngtheo đường vừa vẽ, ta nhận được hai mảnh bóng vỡ. Cắt ngang một cái phao hìnhxuyến, ta chỉ được có một mảnh vỡ.
Năm 1904, Poincaré đặt ra câu hỏi: “Liệu tính chất này của các vật hình cầucó còn đúng trong không gian 4 chiều?”. Điều kỳ lạ là các nhà Hình học Topođã chứng minh được rằng điều này đúng trong những không gian lớn hơn hoặc bằng 5chiều, nhưng chưa ai chứng minh được tính chất này vẫn đúng trong không gian 4chiều, cho tới Perelman.
4. Giả thuyết Riemann (Riemann hypothesis)
Giả thuyết Riemann được nhà Toán học người Đức Bernhard Riemann công bố năm1859, có liên hệ mật thiết với sự phân bố các số nguyên tố. Số nguyên tố có vaitrò rất quan trọng với số học, đó là những số chỉ có thể chia hết cho 1 và chínhnó.
 |
Thoạt nhìn thì có vẻ các sốnguyên tố phân bố ngẫu nhiên, không theo một quy tắc nào, nhưng nó liên kết chặtchẽ với một hàm số Zeta nhà Toán học Leonard Euler đưa ra. Đến năm 1859, Riemannđưa ra ý tưởng các giá trị không phù hợp với hàm số Euler được sắp xếp theo thứtự. Giả thuyết trên đã được rất nhiều nhà Toán học lao vào giải quyết từ 150 nămnay. Họ đã kiểm tra tính đúng đắn của nó trong 1.500.000.000 giá trị đầu tiênnhưng vẫn không sao chứng minh được.
“Đối với nhiều nhà Toán học, đây là vấn đề quan trọng nhất của toán học thuầntúy” - Enrico Bombieri, Giáo sư Đại học Princeton nhận xét.
5. Các phương trình của Yang - Mills (Yang - Mills existence and mass gap)
Các phương trình của Yang - Mills được xác lập vào những năm 1950 bởi các nhàVật lý người Mỹ - Chen Nin Yang và Robert Mills. Các phương trình này biểu diễnmối quan hệ mật thiết giữa Vật lý về hạt cơ bản với Hình học của các không giansợi. Nó cũng cho thấy sự thống nhất của Hình học với phần trung tâm của lượngtử, gồm tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ.
 |
Từ lâu, các nhà Vật lý đã sử dụngcác phương trình của Yang - Mills trong các máy gia tốc hạt trên toàn thế giớinhưng cho tới nay, các nhà Toán học vẫn không thể xác định chính xác số nghiệmcủa các phương trình này.
6. Các phương trình Navier - Stokes (Navier - Stokes equations)
Các phương trình của Navier - Stokes là vấn đề trung tâm của Cơ học chất lỏng.Các phương trình này mô tả sự vận động của các chất lỏng (và cả chuyển động củacác chất khí như các cơn lốc, chuyển động của khí quyển và cả hình thái của cácthiên hà trong thời điểm nguyên thủy của vũ trụ).
Lời giải cho các phương trình củaNavier - Stokes có rất nhiều ứng dụng riêng biệt. Việc tìm lời giải của cácphương trình Navier - Stokes, bao gồm cả dòng chảy rối, vẫn là một trong sốnhững vấn đề lớn nhất chưa được giải quyết của Vật lý, bất chấp tầm quan trọngcủa nó đối với khoa học - kỹ thuật.
 |
| Các con sóng được mô tả theo các phương trình Navier - Stokes. |
Các phương trình mô tả dòngchảy của chất lỏng được Claude-Louis Navier (người Pháp, Giáo sư Đại học cầuđường Paris) và George Gabriel Stokes (người CH Ireland, Giáo sư Đại họcCambridge) đưa ra cách đây 150 năm. Tuy nhiên, những phương trình củaNavier-Stokes đến nay vẫn là một điều bí ẩn của Toán học, hiện vẫn chưa thểgiải hay xác định số nghiệm của phương trình này.
“Thậm chí người ta không thể biết là phương trình này có nghiệm haykhông. Điều đó cho thấy hiểu biết của chúng ta về các phương trình này cònhết sức ít ỏi” - Giáo sư Toán học người Mỹ Charles Fefferman nhận xét(Charles Fefferman đoạt giải Fields năm 1978 và là người có ảnh hưởng lớnđến chứng minh Bổ đề cơ bản của GS Ngô Bảo Châu).
7. Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer (Birch and Swinnerton-Dyerconjecture)
Các phương trình Đại số nghiệm nguyên thuộc phạm vi nghiên cứu của Lý thuyếtsố và đã được nghiên cứu từ hơn 2000 năm. Người ta cũng biết từ 30 năm nayrằng không có phương pháp tổng quát nào giúp tìm ra số các nghiệm nguyên củacác phương trình dạng này.
 |
Tuy nhiên, với nhóm phươngtrình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong Elip loại 1, hai nhà toánhọc người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer từ đầu những năm 1960 đãđưa ra giả thuyết là số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào một hàm số f.Nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1 (nghĩa là f(1) = 0), phương trìnhcó vô số nghiệm; nếu không, số nghiệm là hữu hạn.
Các nhà Toán học đều thừa nhận tính đúng đắn của giả thuyết này nhưng cũnggiống như giả thuyết Riemann, vẫn chưa có ai chứng minh được điều đó.
Theo Bích Bích
VTC News
